Question

【题目】已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，，离心率为，椭圆C上的一点P到，的距离之和等于4.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设，过椭圆C的右焦点的直线与椭圆C交于A，B两点，若满足恒成立，求m的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）5

【解析】

（1）利用椭圆的定义以及离心率求出，进而可写出椭圆的方程.

（2）由（1）可知，设，，利用向量数量积的坐标运算可得，分类讨论设出直线方程，当直线l与x轴垂直或直线l不与x轴垂直时，将直线与椭圆联立，利用韦达定理可将用的式子表示，然后再利用函数的单调性即可求解.

解：（1）设椭圆的焦距为，

由题意可得，，解得，

∴椭圆C的标准方程为：；

（2）由（1）可知，

设，，则

，，

，

①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为，得，

代入得，，或，，则，

②当直线l不与x轴垂直时，设直线的方程为，

联立，得，

由韦达定理得，，

，

令，，则，

，

又因函数在上是减函数，

，

综上：m的最小值为5.