Question

18．求下列函数的最值．
（1）f（x）=-x³+3x，x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；
（2）f（x）=-x⁴+2x²+3，x∈[-3，2]．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数导数和最值，极值之间的关系进行求解即可．
（2）求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数导数和最值，极值之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=-x³+3x，x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]；
∴f′（x）=-3x²+3=-3（x-1）（x+1），
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-$\sqrt{3}$＜x＜-1或1＜x＜$\sqrt{3}$，此时函数单调递递减，
即当x=-1函数取得极大值f（-1）=1-3=-2，
当x=1函数取得极小值f（1）=-1+3=2，
∵f（$\sqrt{3}$）=-3$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=0，f（-$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$=0，
∴函数的最大值为2，最小值为-2．
（2）f（x）=-x⁴+2x²+3，x∈[-3，2]．
∴f′（x）=-4x³+4x=-4x（x-1）（x+1），
由f′（x）=0得x=0，或x=-1，或x=1，
则当x变化时，f′（x），f（x）的变化如表：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+		-		+		-
f（x）	-60	递增	极大值4	递减	极小值3	递增	极大值4	递减	-5

则函数的最小值为-60，最大值为4．
法2：令x²=μ，
∵x∈[-3，2]，
∴μ∈[0，9]；
f（x）=-x⁴+2x²+3
=-（μ-1）²+4；
∴-60≤-（μ-1）²+4≤4；
故函数的最大值为4，函数的最小值为-60．

点评 本题主要考查函数在闭区间上的最值，求函数的导数，利用函数最值，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．