Question

7．已知双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，其右焦点为F．
（1）求以F为焦点，以双曲线中心为顶点的抛物线方程；
（2）若直线y=2x+m，被抛物线所截的弦长的|AB|=$\sqrt{85}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的方程，双曲线的方程，结合它的几何意义，求解抛物线的方程．
（2）联立方程可得，4x²+4（m-1）x+m²=0，由△＞0有m＜$\frac{3}{2}$，直线y=2x+m，被抛物线所截的弦长的|AB|=$\sqrt{85}$，可求m．

解答 解：（1）∵双曲线为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴中心为（0，0），a²=4，b²=5
该双曲线的右焦点为（3，0）
∴抛物线方程：y²=12x；
（2）直线y=2x+m，与抛物线y²=12x联立，消去y，可得4x²+4（m-3）x+m²=0
由△＞0有16（m-3）²-16m²＞0，解得m＜$\frac{3}{2}$    
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则x₁+x₂=3-m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{4}$，
∵直线y=2x+m，被抛物线所截的弦长的|AB|=$\sqrt{85}$，
∴$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（3-m）^{2}-{m}^{2}}$=$\sqrt{85}$，
解得m=-$\frac{4}{3}$，适合m＜$\frac{3}{2}$，
∴m=-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了双曲线，抛物线的几何意义，考查了直线与圆锥曲线的交点问题，运用了韦达定理简化运算，属于中档题．