Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于M，N.

(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；

(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.

 

Answer 1

(1)x－y－2＝0；(2)1.

【解析】试题分析：(1)利用极坐标与普通方程的关系式，可得C为抛物线方程，消去参数t，可得直线l的方程；(2)由|PM|＝|t1|，|MN|＝|t1－t2|，|PN|＝|t2|成等比数列，可转化为关于a的等量关系求解.

试题解析：(Ⅰ)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)；

直线l的普通方程为x－y－2＝0． 4分

(Ⅱ)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立，得

t2－2(4＋a) t＋8(4＋a)＝0 (*)

△＝8a(4＋a)＞0．

设点M，N分别对应参数t1，t2，恰为上述方程的根．

则|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|．

由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|．

由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)＞0，则有

(4＋a)2－5(4＋a)＝0，得a＝1，或a＝－4．

因为a＞0，所以a＝1． 10分

考点:参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，直线与抛物线位置关系