Question

设函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜

π

2

，若cos

π

3

cosφ-sin

2π

3

sinφ=0，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是

π

4

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若A，B，C是△ABC的三个内角，且f（A）=-1，求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知等式化简，得cos(

π

3

+φ)=0，结合φ的取值范围算出φ=

π

6

．由对称轴离一个对称中心的最近距离得周期T=π，结合公式得出ω=2，从而得到函数f（x）的解析式；
（2）根据f（A）=-1，结合（1）的表达式及0＜A＜π，算出A=

2π

3

，从而B+C=

π

3

．将C=

π

3

-B代入并且化简整理，得sinB+sinC=sin(B+

π

3

)，结合三角函数的图象与性质，可得sinB+sinC的取值范围．

解答：解：（1）∵cos

π

3

cosφ-sin

2π

3

sinφ=0
∴cos

π

3

cosφ-sin

π

3

sinφ=cos(

π

3

+φ)=0
∴

π

3

+φ=

π

2

+kπ，得φ=

π

6

+kπ，k∈Z
∵|φ|＜

π

2

，∴取k=0，得φ=

π

6

，…（3分）
∵函数f（x）图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是

π

4

，
∴周期为T=π，得ω=

2π

T

=2，得f(x)=sin(2x+

π

6

)．                                …（6分）
（2）由f（A）=-1，得sin(2A+

π

6

)=-1，
∵A是△ABC的内角，0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，得2A+

π

6

=

3π

2

，
∴A=

2π

3

，从而B+C=

π

3

．                …（9分）
由sinB+sinC=sinB+sin(

π

3

-B)=

3

2

cosB+

1

2

sinB
∴sinB+sinC=sin(B+

π

3

)，…（12分）
∵0＜B＜

π

3

，

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(B+

π

3

)≤1，即sinB+sinC∈(

3

2

，1]．  
因此，sinB+sinC的取值范围是（

3

2

，1]…（14分）

点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）满足的部分条件，要求确定其解析式并求函数值的取值范围，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．