Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求证：PD∥平面EAC．

Answer 1

分析：（1）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB．
（2）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC⊆底面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
∵BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD内的射影．
又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．         
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=

π

4

，
∴∠DCA=∠BAC=

π

4

．
又∵AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=

2

AC=

2

(

2

AB)=2AB．
连接BD，交AC于点M，则由AB∥CD得：

DM

MB

=

DC

AB

=2．
在△BPD中，

PE

EB

=

DM

MB

=2，所以PD∥EM
又∵PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．

点评：本题给出底面是直角梯形的四棱锥，求证线面平行和面面垂直，着重考查了空间线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质和面面垂直的判定等知识，属于基础题．