Question

已知函数f（x）=lnx-x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值
（Ⅱ）定义运算：

.

a b d c

.

=ac-bd，其中a，b，c，d∈R．
①求证：?x₀∈（1，+∞），使得

.

f(x0) f( 1 2 ) 1 1

.

=0；
②设函数F（x）=f（x）+x+1，已知函数H（x）是函数F（x）的反函数，若关于x的不等式

.

m            H(x) H(f(x))  H(x)-1

.

＜1（m∈R），在x∈（0，+∞）上恒成立，求整数m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值，
（Ⅱ）①易知等价于证明：?x₀∈（1，+∞），f（x₀）-f（

1

2

）=0，令K（x）=f（x）-f（

1

2

），求出K（x）在（1，+∞）递减，由K（1）＞1，K（e）＜0，
从而得出?唯一的x₀∈（1，e），使得K（x₀）=0，②易知F（x）=lnx，H（x）=e^x，得出m＜

xex+1

ex-1

，令G（x）=

xex+1

ex-1

，x＞0，通过求导得出G（x）的最小值，进而求出m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f′（x）=

1

x

-1=0，解得：x=1，
x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，
∴f（x）_极大值=f（1）=-2；
（Ⅱ）①易知等价于证明：?x₀∈（1，+∞），f（x₀）-f（

1

2

）=0，
令K（x）=f（x）-f（

1

2

），
则K（x）=lnx-x+ln2+

1

2

，x＞1，
当x∈（1，+∞）时，K′（x）=

1

x

-1＜0，
∴K（x）在（1，+∞）递减，
又∵K（1）＞1，K（e）＜0，
∴?唯一的x₀∈（1，e），使得K（x₀）=0，
②易知F（x）=lnx，H（x）=e^x，
∴m（e^x-1）-e^x，x＜1，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，
∴m＜

xex+1

ex-1

，
令G（x）=

xex+1

ex-1

，x＞0，
∴G′（x）=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

，
再令R（x）=e^x-x-2，x＞0，
当x＞0时，R′（x）=e^x-1＞0，
∴R（x）=e^x-x-2在x＞0上递增，
易知R（1）=e-3＜0，R（2）=e²-4＞0，
∴?x₁∈（1，2），使R（x₁）=0，即ex1=x₁+2，
当x∈（0，x₁ ）时，R（x）＜0，G′（x）＜0，
当x∈（x₁，+∞）时，R（x）＞0，G′（x）＞0，
∴G（x）_最小值=G（x₁ ）=x₁+1，
又∵x₁∈（1，2），∴2＜G（x₁ ）＜3，
∴整数m的最大值为2．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，新定义的应用，是一道综合题．