Question

17．已知函数f（x）=xcosx+3（-1≤x≤1），设函数f（x）的最大值是M，最小值是N，则（　　）

• A． M+N=8
• B． M+N=6
• C． M-N=8
• D． M-N=6

Answer 1

分析 设g（x）=xcosx 则f（x）=g（x）+3，根据函数的奇偶性可得g（x）在[-1，1]上关于原点对称，再根据函数的单调性可得：f（x）取到最大值M时，相对应的x下的g（x）也取最大值M'=M-3，同理f（x）有最小值N时，g（x）也取最小值N'=N-3，根据对称性可得M'+N'=0，进而得到答案．

解答 解：设g（x）=xcosx 则f（x）=g（x）+3，
因为g（-x）=-g（x），且x∈，[-1，1]，
所以g（x）在[-1，1]上关于原点对称．
因为f（x）和g（x）单调性相同，
所以f（x）取到最大值M时，相对应的x下的g（x）也取最大值M-3，
同理f（x）有最小值N时，g（x）也取最小值N-3，
设g（x）最大值M'=M-3 最小值N'=N-3，
因为g（x）关于坐标原点对称可得所以（M-3）+（N-3）=0，
所以 M+N=6，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的有关性质，即函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用．