Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+cos2x+a (a∈R，a为常数）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若x∈[0，  

π

2

]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先利用和角、差角的正弦公式，再利用辅助角公式化简函数，即可求函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的单调递增区间，可求函数的单调递增区间；
（3）先确定x∈[0，  

π

2

]时，f（x）的值域，再利用f（x）的最小值为-2，即可求a的值．

解答：解：（1）f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+cos2x+a=2sin2xcos

π

6

+cos2x+a=

3

sin2x+cos2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a
∴T=

2π

2

=π；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，可得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）
∴函数的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，  

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7

6

π]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴2sin（2x+

π

6

）+a∈[-1+a，2+a]
∵f（x）的最小值为-2，
∴-1+a=-2，∴a=-1．

点评：本题考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．