Question

已知无穷等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S_n，且T_n=

Sn

Sn+2

，求

lim

n→∞

T_n．

Answer 1

考点：数列的极限,等比数列的前n项和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：分q=1和q≠1求出S_n和S_n+2，对于q≠1时再分q=-1、|q|＜1、|q|＞1分类求得数列极限．

解答： 解：当q=1时，S_n=n，S_n+2=n+2，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

n

n+2

=

lim

n→∞

1

1+ 2 n

=1；
当q≠1时，Sn=

1-qn

1-q

，Sn+2=

1-qn+2

1-q

，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -q2

．
当|q|＜1时，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=1；
当q=-1时，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -q2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -1

=1；
当|q|＞1时，

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

1-qn 1-q

1-qn+2 1-q

=

lim

n→∞

1-qn

1-qn+2

=

lim

n→∞

1 qn -1

1 qn -q2

=

1

q2

．

点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了数列极限的求法，训练了分类讨论的数学思想方法，是中档题．