Question

已知函数f（x）为奇函数（定义域为R且x≠0），当x＞0时，f（x）=log₂x，则满足不等式xf（x）＞0的x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先令x＜0，则-x＞0，根据函数f（x）为奇函数，求出f（x）的解析式；又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0两种情况分别求出不等式xf（x）＞0的解集，最后求其并集即可．

解答： 解：∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
当x＜0时，-x＞0时，f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），
当x=0时，f（0）=0，
∴f（x）=

log2x，x＞0 0，x=0 -log2(-x)，x＜0

；
①当x＞0时，由xlog₂x＞0解得x＞1，
②当x＜0时，由-xlog₂（-x）＞0解得x＜-1，
综上，得x＞1或x＜-1，
故x的取值范围为x＞1或x＜-1．
故答案为：x＞1或x＜-1．

点评：本题主要考查了函数奇偶性质的运用，考查了分段函数解析式的求法，以及转化思想和分类讨论思想的运用，属于中档题．