Question

设a，b，c是三角形的三边长，直线l：ax+by+c=0，M（-1，-1），N（-1，1），P（1，1），1（1，-1）．
（1）判断点M，N，P，Q是否均在直线的同一侧，请说明理由；
（2）设M，N，P，Q到直线的距离和为S，求证：2

2

＜S＜4

2

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）令f（x，y）=ax+by+c，则f（-1，-1）=c-（a+b），f（-1，1）=（b+c）-a，f（1，1）=a+b+c，f（1，-1）=（a+c）-b，利用三角形的三边大小关系即可判断出．．
（2）M，N，P，Q到直线的距离和为S=

|c-(a+b)|

a2+b2

+

|(b+c)-a|

a2+b2

+

|a+b+c|

a2+b2

+

|(a+c)-b|

a2+b2

=

2(a+b+c)

a2+b2

，不妨设a≥b，a-b≤c≤a+b利用基本不等式的性质即可证明．

解答： （1）解：令f（x，y）=ax+by+c，
则f（-1，-1）=c-（a+b），
f（-1，1）=（b+c）-a，
f（1，1）=a+b+c，
f（1，-1）=（a+c）-b＞0．
由三角形的性质可知：f（-1，-1）＜0，f（-1，1）＞0，f（1，1）＞0，f（1，-1）＞0，
∴点N，P，Q在直线l的同侧，而点M在直线l的另一侧．

（2）证明：M，N，P，Q到直线的距离和为
S=

|c-(a+b)|

a2+b2

+

|(b+c)-a|

a2+b2

+

|a+b+c|

a2+b2

+

|(a+c)-b|

a2+b2

=

2(a+b+c)

a2+b2

，
不妨设a≥b，a-b≤c≤a+b．
∴

a+b+c

a2+b2

＞

a+b+(a-b)

a2+b2

=

2a

a2+b2

≥

2a

2a2

=

2

．

a+b+c

a2+b2

＜

a+b+a+b

a2+b2

=

2(a+b)

a2+b2

≤2

2

．
∴2

2

＜S＜4

2

．

点评：本题考查了三角形的三边大小关系、基本不等式的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．