Question

已知函数f（x）=2^x+2^-x，求函数的单调区间并证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据基本不等式得出函数f（x）有最小值，由此判断f（x）在（-∞，0）上是减函数，（0，+∞）是增函数；再用定义证明即可．

解答： 解：函数f（x）=2^x+2^-x在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）是增函数；
证明如下：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
则f（x₁）-f（x₂）=（2x1+2-x1）-（2x2+2-x2）
=（2x1-2x2）+（2-x1-2-x2）
=（2x1-2x2）（1-

1

2x1•2x2

）；
∵0＜x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，

1

2x1•2x2

＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
同理，f（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴函数f（x）的单调减区间是（-∞，0），单调增区间是（0，+∞）．

点评：本题考查了判断函数的单调性以及求函数的单调区间的应用问题，是基础题目．