【题目】已知正项数列的前
项和为
,对任意
,点
都在函数
的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列,求数列
的前
项和
;
(3)已知数列满足
,若对任意
,存在
使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)将点代入函数
的解析式得到
,令
,由
可求出
的值,令
,由
得
,两式相减得出数列
为等比数列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求出数列
的通项公式;
(2)求出数列的通项公式,利用错位相减法求出数列
的前
项和
;
(3)利用分组求和法与裂项法求出数列的前
项和
,由题意得出
,判断出数列
各项的符号,得出数列
的最大值为
,利用函数
的单调性得出该函数在区间
上的最大值为
,然后解不等式
可得出实数
的取值范围.
(1)将点代入函数
的解析式得到
.
当时,
,即
,解得
;
当时,由
得
,
上述两式相减得,得
,即
.
所以,数列是以
为首项,以
为公比的等比数列,因此,
;
(2),
,
因此,①
,②
由①②得
,
所以;
(3).
令为
的前
项和,
则.
因为,
,
,
,
当时,
,
令,
,
令,则
,
当时,
,此时,数列
为单调递减数列,
,
则,即
,
那么当时,数列
为单调递减数列,此时
,则
.
因此,数列的最大值为
.
又,函数
单调递增,
此时,函数的最大值为
.
因为对任意的,存在
,
.
所以,解得
,因此,实数
的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(坐标系与参数方程选做题)
已知曲线C的参数方程为 (t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,且平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD,
.
(I)求证:平面ABCD;
(II)求证:平面ACF⊥平面BDF.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对某种书籍每册的成本费(元)与印刷册数
(千册)的数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
表中,
.
为了预测印刷20千册时每册的成本费,建立了两个回归模型:,
.
(1)根据散点图,你认为选择哪个模型预测更可靠?(只选出模型即可)
(2)根据所给数据和(1)中选择的模型,求关于
的回归方程,并预测印刷20千册时每册的成本费.
附:对于一组数据,
,…,
,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查,发现喜欢甜品的占
.这
名学生中南方学生共
人。南方学生中有
人不喜欢甜品.
(1)完成下列列联表:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | |||
北方学生 | |||
合计 |
(2)根据表中数据,问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(3)已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生,其中
名不喜欢甜品;有
名物理系的学生,其中
名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中,各随机抽取
人,记抽出的
人中不喜欢甜品的人数为
,求
的分布列和数学期望.
附:.
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知A,B,C是椭圆W: 上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
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