【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)在(1)的条件下,求证:;
(3)当时,求函数
在
上的最大值.
【答案】(1)(2)见解析(3)最大值为
.
【解析】分析:(1)求出导数,写出切线方程;
(2)利用导数求出的最小值,由最小值>0得结论;
(3)求出导函数,其零点为
,首先比较
与
的大小,得出
的单调性,然后再比较
大小得出最大值.
详解:(1)当时,
,所以
,
切线方程为.
(2)由(1)知,则
,当时
时,
;
当时,
.
所以在
上单调递减,
在
上单调递增,
当时,函数最小值是
,因此
.
(3),令
,则
,当
时,设
,
因为,所以
在
上单调递增,
且,所以
在
恒成立,即
,
当,当
;所以
在
上单调递减,
在上单调递增.所以
在
上的最大值等于
,
因为,
设,所以
.
由(2)在
恒成立,所以
在
上单调递增.
又因为,所以
在
恒成立,即
,
因此当时,
在
上的最大值为
.
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【题目】已知 =(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.
(1)若| ﹣
|=
,求证:
⊥
;
(2)设 =(0,1),若
+
=
,求α,β的值.
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【题目】设F1 , F2是双曲线C: (a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为 .
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【题目】在△ABC中,已知点A(5,-2),B(7,3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上,求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线MN的方程.
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【题目】如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为 .记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数 ,
正方形数N(n,4)=n2 ,
五边形数 ,
六边形数N(n,6)=2n2﹣n,
…
可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= .
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【题目】设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
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【题目】已知正项数列的前
项和为
,对任意
,点
都在函数
的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列,求数列
的前
项和
;
(3)已知数列满足
,若对任意
,存在
使得
成立,求实数
的取值范围.
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