Question

7．已知函数f（x）=x²•sinx．给出下列三个命题：
（1）f（x）是定义域为R的奇函数；
（2）f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上单调递增；
（3）对于任意的${x_1}，{x_2}∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，都有（x₁+x₂）[f（x₁）+f（x₂）]≥0．
其中真命题的序号是（　　）

• A． （1）（2）
• B． （1）（3）
• C． （2）（3）
• D． （1）（2）（3）

Answer 1

分析 （1）由于f（-x）=-f（x），可得f（x）是定义域为R的奇函数；
（2）由于f′（x）=2xsinx+x²cosx≥0，即可得出f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上单调性；
（3）对x₁，x₂分类讨论，不妨设$-\frac{π}{2}$≤x₁≤x₂$≤\frac{π}{2}$，当x₁x₂≥0时，当x₁x₂＜0时，则$-\frac{π}{2}$≤x₁＜0＜x₂≤$\frac{π}{2}$，若x₁+x₂＞0，若x₁+x₂≤0，再利用（1）（2）即可得出．

解答 解：对于（1），∵f（-x）=x²sin（-x）=-x²sinx=-f（x），
∴f（x）是定义域为R的奇函数；
对于（2），f′（x）=2xsinx+x²cosx≥0，∴f（x）在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上单调递增，正确；
对于（3），对x₁，x₂分类讨论，不妨设$-\frac{π}{2}$≤x₁≤x₂$≤\frac{π}{2}$，
当x₁x₂≥0时，都有（x₁+x₂）[f（x₁）+f（x₂）]≥0．
当x₁x₂＜0时，则$-\frac{π}{2}$≤x₁＜0＜x₂≤$\frac{π}{2}$，若x₁+x₂＞0，则x₂＞|x₁|，f（x₂）＞f（-x₁）=-f（x₁），∴f（x₂）+f（x₁）＞0；
若x₁+x₂≤0，同理可得：f（x₂）+f（x₁）≤0；因此都有（x₁+x₂）[f（x₁）+f（x₂）]≥0．
综上可得：对于任意的${x_1}，{x_2}∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，都有（x₁+x₂）[f（x₁）+f（x₂）]≥0．
因此（1）（2）（3）都正确．
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性单调性、分类讨论思想方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．