Question

16．已知f（x）=2sinxcosx-cos2x，若a∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（a）=1，则a=$\frac{π}{4}$；若x∈[-$\frac{π}{24}，\frac{π}{2}$]，则f（x）的值域是[$-\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用函数的值确定a的值，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．

解答 解：f（x）=2sinxcosx-cos2x
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$．
①若a∈（0，$\frac{π}{2}$），且f（a）=1，
则：$\sqrt{2}sin（2a-\frac{π}{4}）=1$，
所以：$2a-\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$a=kπ+\frac{π}{4}$（k∈Z）
由于：a∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以：当k=0时，$a=\frac{π}{4}$．
②已知：$-\frac{π}{24}≤x≤\frac{π}{2}$，
所以：$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
则：$-\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤1$，
则：$-\frac{\sqrt{6}}{2}≤f（x）≤\sqrt{2}$，
即：f（x）的值域为：[$-\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]．
故答案为：①$\frac{π}{4}$，②[$-\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}$]

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的求值问题，利用正弦型函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的应用能力．