Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x²+y²=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程．
（2）①椭圆C的右焦点$F（{\sqrt{3}，0}）$．设切线方程为$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积．
②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$．利用$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，推出OP⊥OQ．
（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，通过$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理，结合m²=2k²+2，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，推出结果．

解答 解：（1）由题意，得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得a²=6，b²=3．
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）①椭圆C的右焦点$F（{\sqrt{3}，0}）$．
设切线方程为$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，即$kx-y-\sqrt{3}k=0$，
所以$\frac{{|{-\sqrt{3}k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得$k=±\sqrt{2}$，所以切线方程为$y=±\sqrt{2}（{x-\sqrt{3}}）$．
由方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\sqrt{2}（{x-\sqrt{3}}）\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{5}\\ y=\frac{{-\sqrt{6}+6}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{4\sqrt{3}-3\sqrt{2}}}{5}\\ y=\frac{{-\sqrt{6}-6}}{5}\end{array}\right.$，
所以$PQ=\frac{{6\sqrt{6}}}{5}$．
因为O到直线PQ的距离为$\sqrt{2}$，所以△OPQ的面积为$\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．
综上所述，△OPQ的面积为$\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．
②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$．
当$x=\sqrt{2}$时，$P（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}），Q（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$．
因为$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，所以OP⊥OQ．
当$x=-\sqrt{2}$时，同理可得OP⊥OQ．
（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，即kx-y+m=0．
因为直线与圆相切，所以$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，即m²=2k²+2．
将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-6}}{{1+2{k^2}}}$，
因为$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$=$（{1+{k^2}}）×\frac{{2{m^2}-6}}{{1+{k^2}}}+km×（{-\frac{4km}{{1+{k^2}}}}）+{m^2}$．
将m²=2k²+2代入上式可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，所以OP⊥OQ．
综上所述，OP⊥OQ．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．