Question

18．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x^y）=y•f（x）．
（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；
（3）若a＞b＞c＞1，且2b=a+c，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]²．

Answer 1

分析 （1）先令y=0，求出方程的实数根，再证明即可，
（2）由条件f（a）＞0，根据单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）根据不等式的性质即可证明不等式f（a）f（c）＜[f（b）]²；

解答 （1）证明：令y=0，∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x^y）=y•f（x）．
则f（1）=0，因此x=1是方程f（x）=0一个实数根．
先证明以下结论：
设0＜a，a≠1时，假设x，y＞0，则存在m，n，使x=a^m，y=aⁿ，
∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x^y）=y•f（x）．
∴f（xy）=f（a^maⁿ）=f（a^m+n）=（m+n）f（a），
f（x）+f（y）=f（a^m）+f（aⁿ）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．
则f（xy）=f（x）+f（y）．
令y=0，则f（x）=0，
若方程f（x）=0还有一个实数根，可得f（x）≡0．
与已知f（x）不恒为0矛盾．
因此：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
（2）设x^y=ac，则y=log_xac，
∴设x₀∈（0，1），则f（${a}^{lo{g}_{a}{x}_{0}}$）=（log_ax₀）f（a）＜0，
设x₁，x₂为区间（0，+∞）内的任意两个值，且x₁＜x₂，则0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，
由（1）可得：
f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）设x^y=ac，则y=log_xac，
∴f（ac）=f（x^y）=yf（x）=（log_xac）f（x）=（log_xa+log_xc）f（x）=（log_xa）f（x）+（log_xc）f（x）=f（${x}^{lo{g}_{x}a}$）+f（${x}^{lo{g}_{x}c}$）=f（a）+f（c）
∵b²=ac，
∴f（b²）=f（ac），
即2f（b）=f（a）+f（c），
f（b）=$\frac{1}{2}$[f（a）+f（c）]，
∴[f（b）]²-f（a）•f（c）=[$\frac{f（a）+f（c）}{2}$]²-f（a）•f（c）=[$\frac{f（a）-f（c）}{2}$]²，
下面证明当x≠1时，f（x）≠0．
假设存在x≠1，f（x₀）=0，则对于任意x≠1，f（x）=f（${{x}_{0}}^{lo{g}_{x0}x}$）=（log${\;}_{{x}_{0}}$x）f（x₀）=0
不合题意．所以，当x≠1时，f（x）≠0．
因为a＞b＞c＞1，所以存在m≠1，
f（a）-f（c）=f（${m}^{lo{g}_{m}a}$）-f（${m}^{lo{g}_{m}c}$）=（log_ma-log_mc）f（m）≠0，
所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f²（b）．

点评 本题主要考查抽象函数应用以及函数单调性的应用，综合考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．