Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，△PCD的重心G在底面ABCD上的射影恰好是△ACD的重心N，且GN=

1

3

AB=

1

3

PA=1．
（1）求证：AN⊥PB
（2）求点B到平面PCD的距离
（3）求二面角B-PC-A的大小．

Answer 1

分析：（1）N是G在面ABCD上的射影，推出GN⊥面ABCD，GN∥PA，以及PA⊥平面ABCD，连PG交CD于点M，则点M为CD的中点，且AN过点M
证明AN⊥CD，AB∥CD，得到AN⊥PB
（2）说明点B到面PCD的距离等于点A到面PCD的距离，过点A作AE⊥PM
AE⊥平面PCD，然后求出AE=

3 21

7

，即点B到平面PCD的距离为

3 21

7

．
（3）连接BD，过B作BK⊥PC交PC于K，AC与BD交于点O，连KO，说明∠BKO为二面角B-PC-A的平面角
在Rt△BKO中，tan∠BKO=

OB

KO

=

6

，二面角B-PC-A的大小为arttan

6

．

解答：解：（1）证明：∵N是G在面ABCD上的射影，
∴GN⊥面ABCD，又G、N分别为△PCD和△ACD的重心，
∴GN∥PA
∴PA⊥平面ABCD
∴AB为PB在平面ABCD内射影，连PG交CD于点M，则点M为CD的中点，且AN过点M
∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴AN⊥CD，又AB∥CD，
∴AN⊥AB，∴AN⊥PB（4分）

（2）∵AB∥CD
∴AB∥平面PCD，
∴点B到面PCD的距离等于点A到面PCD的距离，过点A作AE⊥PM
∴AN⊥CD又PA⊥平面ABCD
∴CD⊥PM
∴CD⊥平面PAM
∴CD⊥AE
∴AE⊥平面PCD
∴AE为点A到平面PCD的距离
∵GN=

1

3

AB=

1

3

PA=1，∴PA=AB=3，AM=

3 3

2

，∴PM

3 7

2

∴AE=

3 21

7

，
即点B到平面PCD的距离为

3 21

7

（8分）

（3）连接BD，过B作BK⊥PC交PC于K，AC与BD交于点O，连KO，易知PC⊥平面KO
∴PC⊥KO，则∠BKO为二面角B-PC-A的平面角
∵AB=3
∴BO=

3 3

2

，∴KO=

3 2

4

在Rt△BKO中，tan∠BKO=

OB

KO

=

6

∴二面角B-PC-A的大小为arttan

6

（12分）
另：用坐标系求解，酌情评分．

点评：本题是中档题，考查直线与直线的垂直，点到平面的距离，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．