Question

【题目】设f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（﹣2）=0，则（x﹣3）f（x）＜0的解集是

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）
【解析】解：∵f（x）是奇函数，又f（﹣2）=0，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，即f（2）=0，
∵（x﹣3）f（x）＜0，
∴（I）当x＞3时，f（x）＜0，
由于f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，
∴x＞3时，f（x）＜0成立；
（II）当x＜3时，有f（x）＞0，
由于f（x）是R上的奇函数，故f（0）=0，
又f（2）=0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，
①当0＜x＜2时，f（x）＞0，当2＜x＜3时，f（x）＜0，
∴当0＜x＜2时，有（x﹣3）f（x）＜0；
②当x＜0时，由奇函数的性质得，f（x）在（﹣∞，0）内是减函数，
又f（﹣2）=0，当x＜﹣2时，f（x）＞0；当﹣2＜x＜0时，f（x）＜0．
∴当x＜﹣2时，有（x﹣3）f（x）＜0．
综上可得，（x﹣3）f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）．
所以答案是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）∪（3，+∞）．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．