Question

已知二次函数g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）设f（x）=

g(x)

x

．若f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用g（x）=a（x-1）²-a+1+b在区间[2，3]上递增，结合函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，建立方程组，求出a，b，即可求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，即2x+

1

2x

-2-k•2x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，即k≤(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1在x∈[-1，1]时恒成立，只需 k≤((

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1)min．

解答： 解：（Ⅰ）∵g（x）=a（x-1）²-a+1+b，a＞0，
∴g（x）=a（x-1）²-a+1+b在区间[2，3]上递增．  
依题意得

g(2)=1 g(3)=4

即

a-a+1+b=1 4a-a+1+b=4

，解得

a=1 b=0

∴g（x）=x²-2x+1…6 分
（Ⅱ）∵f(x)=

g(x)

x

，∴f(x)=

g(x)

x

=x+

1

x

-2…7 分
∵f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，
即2x+

1

2x

-2-k•2x≥0在x∈[-1，1]时恒成立
∴k≤(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1在x∈[-1，1]时恒成立
只需 k≤((

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1)min…10 分
令t=

1

2x

，由x∈[-1

，&1

得t∈[

1

2

，&2

设h（t）=t²-2t+1
∵h（t）=t²-2t+1=（t-1）²…12 分
当t=1时，取得最小值0，∴k≤h（t）_min=h（1）=0
∴k的取值范围为（-∞，0）…（14分）

点评：本题考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质，正确分离参数求最值是关键．