Question

1．已知函数f（x）=1og_a（x-1）+a（a＞0且a≠1）经过点（2，3）．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令h（x）=f（x+1）-3，若不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2对于任意的x∈[1，3]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将（2，3）代入函数的解析式，求出a的值，从而求出函数的解析式；（Ⅱ）问题转化为m≥${{（log}_{3}^{x}+1）}^{2}$+1对于任意的x∈[1，3]恒成立．求出${{（log}_{3}^{x}+1）}^{2}$+1的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）将（2，3）代入函数的解析式，
得：3=${log}_{a}^{2-1}$+a，解得：a=3，
∴f（x）=${log}_{3}^{（x-1）}$+3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
h（x）=f（x+1）-3=${log}_{3}^{x}$，
不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2对于任意的x∈[1，3]恒成立
?${[2{+log}_{3}^{x}]}^{2}$≤2${log}_{3}^{x}$+m+2对于任意的x∈[1，3]恒成立
?m≥${{（log}_{3}^{x}+1）}^{2}$+1对于任意的x∈[1，3]恒成立
而x=3时，${{（log}_{3}^{x}+1）}^{2}$+1取得最大值5，
故m≥5．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数恒成立问题，是一道中档题．