Question

14．已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在y轴上的截距是2，且在（-∞，-1），（2，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=$\frac{f′（x）}{3（x-2）}$-（m+1）ln（x+m），求h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）函数的截距为2，得c=2，求导，根据单调区间，可知-1和2是导函数的两个实根，代入求得a、b的值，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）求导，写出f′（x）解析式，求h（x）的解析式，求导，化简h′（x）=$\frac{x-1}{x+m}$，分类讨论m的取值范围，利用函数的定义域及单调性求得m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，在y轴上的截距是2，
∴f（0）=2，∴c=2，
又∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上单调递增，（-1，2）上单调递减，
f′（x）=3x²+2ax+b=0有两个根为-1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-\frac{2a}{3}}\\{-1×2=\frac{b}{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+2，…（4分）
（2）f′（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2），
∴h（x）=x+1-（m+1）ln（x+m），（x＞-m且x≠2），
∴h′（x）=1-$\frac{m+1}{x+m}$=$\frac{x-1}{x+m}$，…（6分）
当m≤-2时，-m≥2，定义域：（-m，+∞），
h′（x）＞0恒成立，h（x）（-m，+∞）上单调递增；
当-2＜m≤-1时，2＞-m≥1，定义域：（-m，2）∪（2，+∞），
h′（x）＞0恒成立，h（x）（-m，2），（2，+∞）上单调递增；
当m＞-1时，-m＜1，定义域：（-m，2）∪（2，+∞），
h′（x）＞0，得x＞1，
h′（x）＜0，得x＜1．
故在（1，2），（2，+∞）上单调递增；在（-m，1）上单调递减，…（11分）
综上所述，当m≤-2时，h（x）在（-m，+∞）上单调递增；
当-2＜m≤-1时，h（x）在：（-m，2），（2，+∞），上单调递增；
当m＞-1时，在（1，2），（2，+∞）上单调递增；在（-m，1）单调递减．…（12分）

点评 本题考查利用导数法求函数解析式、函数单调性以及掌握不等式的解法．这是高考必考的考点，属于中档题．