Question

19．若f（x）=x+sinx，则使不等式f（x²-ax）+f（1-x）≤0在x∈[1，3]上成立的实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． [$\frac{7}{3}$，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，$\frac{7}{3}$]

Answer 1

分析 求导数便可判断函数f（x）在R上为增函数，并可判断f（x）为奇函数，这样便可由f（x²-ax）+f（1-x）≤0得出x²-ax≤x-1，从而得到$a≥x+\frac{1}{x}-1$，可以判断函数$y=x+\frac{1}{x}-1$在[1，3]上的单调性，从而求出该函数在[1，3]上的最大值，这样即可得出实数a的取值范围．

解答 解：f′（x）=1+cosx≥0；
∴f（x）在R上为增函数；
且f（x）为奇函数；
∴由f（x²-ax）+f（1-x）≤0得，f（x²-ax）≤f（x-1）；
∴x²-ax≤x-1；
∴$a≥x+\frac{1}{x}-1$在x∈[1，3]上恒成立；
∵$x+\frac{1}{x}-1≥1$，当x=1时取“=”；
∴$y=x+\frac{1}{x}-1$在[1，3]上单调递增；
∴x=3时，$x+\frac{1}{x}-1$取最大值$\frac{7}{3}$；
∴$a≥\frac{7}{3}$；
∴实数a的取值范围为$[\frac{7}{3}，+∞）$．
故选B．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，奇函数的概念及判断，根据函数单调性和奇偶性解不等式的方法，基本不等式的运用，根据函数单调性求函数最值的方法，要熟悉函数$y=x+\frac{1}{x}-1$的图象及单调性．