Question

18．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点F₁关于渐近线的对称点恰好在以F₂为圆心，|OF₂|（O为坐标原点）为半径的圆上，则该双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 首先求出F₁到渐近线的距离，利用F₁关于渐近线的对称点恰落在以F₂为圆心，|OF₂|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，F₁（-c，0），F₂（c，0），
设一条渐近线方程为y=-$\frac{b}{a}$x，则F₁到渐近线的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b．
设F₁关于渐近线的对称点为M，F₁M与渐近线交于A，
可得|MF₁|=2b，A为F₁M的中点，
又0是F₁F₂的中点，∴OA∥F₂M，则∠F₁MF₂为直角，
由△MF₁F₂为直角三角形，
由勾股定理得4c²=c²+4b²
即有3c²=4（c²-a²），即为c²=4a²，
即c=2a，则e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．