Question

已知曲线y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（

π

8

，

2

），此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（

3

8

π，0），若φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）试求这条曲线的函数表达式；
（2）用“五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的最高点的坐标确定A，根据函数零点的坐标确定函数的周期，利用最值点的坐标同时求ψ的取值，即可得到函数的解析式．
（2）利用五点法即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数图象的一个最高点为（

π

8

，

2

），
∴A=

2

，x=

π

8

，为其中一条对称轴．
这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（

3

8

π，0），
∴

T

4

=

3

8

π-

π

8

=

π

4

，
即函数的周期T=π，
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
此时函数y=f（x）=

2

sin（2x+φ），
∵f（

π

8

）=

2

sin（

π

8

×2+φ）=

2

，
∴sin（

π

4

+φ）=1，
即

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，
即φ=

π

4

+2kπ，
∵φ∈（-

π

2

，

π

2

）．
∴当k=0时，φ=

π

4

，
∴这个函数的解析式为y=f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（2）列表：

x	- π 8	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
2 sin（2x+ π 4 ）	0	2	0	- 2	0

作出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．图象如下．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定A，ω，φ的取值是解决本题的关键．