【题目】已知函数f(x)=2cosxsin(x+ )﹣
sin2x+sinxcosx.
(1)当x∈[0, ]时,求f(x)的值域;
(2)用五点法在图中作出y=f(x)在闭区间[﹣ ,
]上的简图;
(3)说明f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到?
【答案】
(1)解:∵f(x)=2cosxsin(x+ )﹣
sin2x+sinxcosx
=sin2x+ cos2x
=2sin(2x+ ),
∵x∈[0, ],2x+
∈[
,
],
∴f(x)=2sin(2x+ )∈[﹣
,2].
(2)解:列表:
2x+ | 0 | | π | | 2π |
x | ﹣ | | | | |
y | 0 | 2 | 0 | ﹣2 | 0 |
作图:
(3)解:把y=sinx的图象向左平移 个单位,可得函数y=sin(x+
)的图象;
再把所得图象上点的横坐标变为原来的 倍,可得函数y=sin(2x+
)的图象;
再把所得图象上的点的纵坐标变为原来的2倍,可得函数y=2sin(2x+ )的图象.
【解析】(1)由条件利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x+ ),由x∈[0,
]根据正弦函数的定义域和值域即可得解.(2)用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图.(3)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象和函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握描点法及其特例—五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线);图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象.
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【题目】已知数列{an} 中,a1=1,a2= ,且
(n=2,3,4,…)
(1)求a3、a4的值;
(2)设bn= (n∈N*),试用bn表示bn+1并求{bn} 的通项公式;
(3)设cn= (n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】某投资公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣ ,B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=
(注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司已有100万元资金,并全部投入A,B两种产品中,其中x万元资金投入A产品,试把A,B两种产品利润总和表示为x的函数,并写出定义域;
(2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这100万元资金,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?
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【题目】如图所示的几何体是由棱台 和棱锥
拼接而成的组合体,其底面四边形
是边长为
的菱形,且
,
平面
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】将函数y=sin(x﹣ )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移
个单位,则所得函数图象对应的解析式为( )
A.y=sin( x﹣
)
B.y=sin(2x﹣ )
C.y=sin x
D.y=sin( x﹣
)
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣e﹣x+4sin3x+1,x∈(﹣1,1),若f(1﹣a)+f(1﹣a2)>2成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣2,1)
B.(0,1)
C.
D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,直线l的参数方程为: (t为参数),两曲线相交于M,N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若P(﹣2,﹣4),求|PM|+|PN|的值.
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【题目】已知函数f(x)=4sin2( +
)sinx+(cosx+sinx)(cosx﹣sinx)﹣1.
(1)化简f(x);
(2)常数ω>0,若函数y=f(ωx)在区间 上是增函数,求ω的取值范围;
(3)若函数g(x)= 在
的最大值为2,求实数a的值.
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【题目】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的闰面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值.
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