Question

19．数列中，a₁=2，a_n+1=$\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（{n∈{N^*}}）$，则a₂₀₁₄=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． -3

Answer 1

分析 由已知结合数列递推式求得数列的前几项，可得数列{a_n}是以4为周期的周期数列，由此求得答案．

解答 解：由a₁=2，a_n+1=$\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}+1}}（{n∈{N^*}}）$，
得${a}_{2}=\frac{1}{3}$，${a}_{3}=\frac{\frac{1}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}=-\frac{1}{2}$，${a}_{4}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}=-3$，${a}_{5}=\frac{-3-1}{-3+1}=2$，…，
由上可知，数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
则${a}_{2014}={a}_{503×4+2}={a}_{2}=\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对数列周期的发现，是中档题．