Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可得解A的值．
（2）由已知利用三角形面积公式可得bc=6，由余弦定理可得b+c=5，即可得解三角形的周长．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…4分
（2）∵a=$\sqrt{7}$，A=$\frac{π}{3}$，由三角形面积公式可得：$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得bc=6，
∴由余弦定理可得：b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$=7，即b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-18=7，
∴解得：b+c=5，
∴三角形的周长为a+b+c=5+$\sqrt{7}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．