Question

（2012•武昌区模拟）已知函数f(x)=2

3

sinxcosx-2co

s

2

x+2．
（ I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）-m＜2对一切x∈[0，

π

2

]均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用降幂公式，再利用辅助角公式化简函数，再整体思维，利用正弦函数的单调增区间，即可求得结论．
（Ⅱ）由f（x）-m＜2，得m+2＞f（x）对一切x∈[0，

π

2

]均成立，确定函数的最大值，即可求得实数m的取值范围范围．

解答：解：f(x)=

3

sin2x-cos2x+1=2sin(2x-

π

6

)+1．
（Ⅰ）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
所以，f（x）的递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．        …（5分）
（Ⅱ）由f（x）-m＜2，得m+2＞f（x）对一切x∈[0，

π

2

]均成立．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，∴0≤f（x）≤3．
∴m+2＞3，∴m＞1．
所以实数m的取值范围范围为（1，+∞）．      …（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的单调增区间，考查恒成立问题，正确化简函数，整体思维是关键．