Question

（1）已知平面上两定点A（-2，0）．B（2，0），且动点M标满足

MA

•

MB

=0，求动点M的轨迹方程；
（2）若把（1）的M的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky-3=0 相切，试求实数k的值；
（3）如图，l是经过椭圆

y2

25

+

x2

16

=1长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E．F是两个焦点，点P∈l，P不与A重合．若∠EPF=α，求α的取值范围．
并将此题类比到双曲线：

y2

25

-

x2

16

=1，l是经过焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是两个顶点，点P∈l，P不与F重合，请作出其图象．若∠APB=α，写出角α的取值范围．（不需要解题过程）

Answer 1

分析：（1）设点M为（x，y）代入题目中的条件

MA

•

MB

=0可得x²+y²=4即得到点M的轨迹方程．
（2）由题意得得到新的圆的方程（x-1）²+（y+1）²=4，由其与直线x+ky-3=0 相切可得k=0或k=

4

3

．
（3）（ⅰ）由题得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得0＜tanα≤

3

4

即0＜α≤arctan

3

4

（ⅱ）类比椭圆的证明方法得到双曲线的类似的性质0＜α≤arctan

5

4

．

解答：解：（1）设M(x，y)，由

MA

•

MB

=0得x2+y2=4，此即点M的轨迹方程．
（2）将x²+y²=4向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，
得到圆（x-1）²+（y+1）²=4
依题意有

|k+2|

k2+1

=2，得k=0或k=

4

3

．
（3）（ⅰ）证明：不妨设点P在A的右侧，并设P（t，-5）（t＞0），
则tan∠EPA=

8

t

，tan∠FPA=

2

t

所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=

8 t - 2 t

1+ 16 t2

=

6

t+ 16 t

≤

3

4

所以0＜tanα≤

3

4

．显然α为锐角，即：0＜α≤arctan

3

4

（ⅱ）如图．（图形中没有体现出双曲线的渐近性的，扣1分）0＜α≤arctan

5

4

．

点评：解决此类问题的关键是把向量条件坐标化，熟练掌握直线与圆的位置关系以及椭圆与双曲线的几何性质．