Question

（2013•乐山二模）已知

OA

=（1，sinx-1），

OB

=（sinx+sinxcosx，sinx），函数f（x）=

OA

•

OB

（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为 f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，从而求得它的周期．
（2）根据x∈[-

π

2

，0]，根据正弦函数的定义域和值域，求得函数y=f（x）在x∈[-

π

2

，0]的最大值与最小值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

OA

•

OB

=（1，sinx-1）•（sinx+sinxcosx，sinx）=sinx+sinxcosx+（sinx-1）sinx
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，即 f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
故f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[-

π

2

，0]，∴2x-

π

4

∈[-

5π

4

，-

π

4

]，
故当2x-

π

4

=-

π

2

时，函数f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

 取得最小值为

1- 2

2

；
2x-

π

4

=-

5π

4

时，函数f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

 取得最大值为

2

2

×

2

2

+

1

2

=1．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的公式应用，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．