Question

已知△ABC的顶点A（2，2），顶点B在直线l₁：y=

1

2

x上，顶点C在直线l₂：y=2x上，则△ABC周长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：直线与圆

分析：设A（2，2）关于l₁和l₂的对称点分别为A′和A″，△ABC周长的最小值即为A′A″之间的距离，由对称性解方程组可得点的坐标，由距离公式可得．

解答： 解：设A（2，2）关于l₁和l₂的对称点分别为A′（a，b），A″（c，d），
由题意和对称性可知△ABC周长的最小值即为A′A″之间的距离，
由对称性可得

b+2 2 = 1 2 • a+2 2 b-2 a-2 • 1 2 =-1

，

d+2 2 =2× c+2 2 d-2 c-2 •2=-1

，
分别解方程组可得

a= 14 5 b= 2 5

，

c= 2 5 d= 14 5

，即A′（

14

5

，

2

5

），A″（

2

5

，

14

5

），
由两点间的距离公式可得A′A″=

( 14 5 - 2 5 )2+( 2 5 - 14 5 )2

=

12 2

5

故答案为：

12 2

5

点评：本题考查两点间的距离公式，涉及对称性和方程组的解法，属基础题．