Question

已知函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1．
（1）证明：当x₁，x₂∈[-2，2]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（2）若过点A（1，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1，建立方程组，即可求得a，b的值；利用导数求函数的最值即可．
（2）可设出切点坐标M（x₀，y₀），然后用两种方式表示出斜率，建立关于切点横坐标的方程2x₀³-3x₀²+t+3=0，再借助函数的单调性与极值确定其有三个解的条件即可．

解答： 解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+4bx-3
∵函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1．
∴f′（1）=0，且f′（-1）=0  
∴

3a+4b-3=0 3a-4b-3=0

，
∴a=1，b=0
此时f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点；
∴f（x）=x³-3x，
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
当-2≤x＜-1或1＜x≤2时，f′（x）＞0，故f（x）在区间[-2，-1）和（1，2]上为增函数，
∴f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
∵对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4．
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲线方程为y=x³-3x，∴点A（1，t）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），切线的斜率为3（x₀²-1）=

x03-3x0-t

x0-1

．（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），
整理得2x₀³-3x₀²+t+3=0．
∵过点A（1，t）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件．
设g（x₀）=2x₀³-3x₀²+t+3，则g′（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+t+3的极值点为x₀=0，x₀=1，
∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+t+3=0有三个实根的充要条件是

g(0)＞0 g(1)＜0

，
解得-3＜t＜-2．
故所求的实数t的取值范围是-3＜t＜-2．

点评：本题考点是利用导数研究函数的单调性，考查了函数极值存在的条件，利用导数求函数最值的方法以及导数研究函数在某点切线的问题，本题涉及到了求导公式，求最值的方法，导数的几何意义等，综合性强，难度较大．