Question

设f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

（1）求f（x）的值域；
（2）判断F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性，并说明理由；
（3）求证：lg

7

5

≤F(|t-

1

6

|-|t+

1

6

|)≤lg

13

5

（t∈R）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）设y=

2x2-2x+2

x2+1

，将该式整理成关于x的方程，根据方程有解即可求得函数f（x）的值域；
（2）求F′（x），然后判断F′（x）的符号，从而判断出函数F（x）在[-1，1]上单调递减；
（3）根据数轴上两点间的距离的表示可以知道|t-

1

6

|-|t+

1

6

|表示数轴上到点

1

6

，与到-

1

6

距离的差，所以便得到-

1

3

≤|t-

1

6

|-|t+

1

6

|≤

1

3

，从而根据F（x）在[-1，1]上单调递减即可证得该问．

解答： 解：（1）设y=

2x2-2x+2

x2+1

，由该函数得：y（x²+1）=2x²-2x+2，整理成：
（2-y）x²-2x+2-y=0，关于x的方程有解；
∴若y=2，则方程变成-2x=0，x=0，即方程有解；
若y≠2，则：△=4-4（2-y）²≥0，解得：1≤y≤3；
∴函数f（x）的值域为[1，3]；
（2）F′(x)=

2(x2+1)(x2-1)

2x2-2x+2

；
∵2x2-2x+2=2(x-

1

2

)2+

3

2

＞0，x∈[-1，1]；
∴x²-1≤0；
∴F′（x）≤0；
∴F（x）在[-1，1]上单调递减；
（3）证明：|t-

1

6

|-|t+

1

6

|=|t-

1

6

|-|t-(-

1

6

)|；
∴|t-

1

6

|-|t+

1

6

|表示数轴上到

1

6

的距离与到-

1

6

距离的差；
∴-

1

3

≤|t-

1

6

|-|t+

1

6

|≤

1

3

；
∵F（x）在[-1，1]上单调递减；
∴F(

1

3

)≤F(|t-

1

6

|-|t+

1

6

|)≤F(-

1

3

)；
又F(

1

3

)=lg

7

5

，F(-

1

3

)=lg

13

5

；
∴lg

7

5

≤F(|t-

1

6

|-|t+

1

6

|)≤lg

13

5

．

点评：考查该题求值域的方法：将函数变成关于x的方程，根据方程有解求值域，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，数轴上两点间距离的表示．