Question

已知函数f（x）=

1

4

x4-

1

2

ax3+4x-3（a＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处切线与直线x+2y-3=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[0，+∞）为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据切线与直线x+2y-3=0垂直，建立条件关系即可求a的值；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得f′(x)=x3-

3

2

ax2+4，直线x+2y-3=0的斜率为-

1

2

，所以切线斜率为2．
故 f′(1)=1-

3

2

a+4=2，所以a=2
（Ⅱ）由f'（x）≥0在[0，+∞）恒成立，
即  f'（x）_min≥0，x∈[0，+∞）
设 g(x)=f′(x)=x3-

3

2

ax2+4(a＞0)，
则 g′（x）=3x²-3ax
令  g′（x）=0，得x=0，x=a．
当0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x＞a时g′（x）＞0，g（x）为增函数，
所以x=a是g（x）的最小值点．
故f'（x）_min=g（a）≥0，
故  a3-

3

2

a3+4≥0，
所以0＜a≤2．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性的应用，考查导数的综合应用．