Question

已知双曲线的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，离心率为

3

，且双曲线过点（

2

，

2

），
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点P（2，1）作一条直线l与双曲线交于A，B两点使P为AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用离心率公式及a，b，c的关系，代入双曲线方程，得到2x²-y²=2a²，再代入点（

2

，

2

），解方程，即可得到a，b，进而得到双曲线方程；
（2）设出过P（1，2）点的直线AB方程，然后代入双曲线方程，利用设而不求韦达定理求出k的值，求出AB的方程即可

解答： 解：（1）离心率为

3

，即e=

c

a

=

3

，
即c²=3a²，b²=c²-a²=2a²，
即有双曲线方程为：2x²-y²=2a²，
代入点（

2

，

2

），则有4-2=2a²，
则a²=1，b²=2，
则双曲线方程为：x²-

y2

2

=1；
（2）设过P（2，1）点的直线AB方程为y-1=k（x-2），
代入双曲线方程得
（2-k²）x²-（2k-4k²）x-（k⁴-4k+3）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=

2k-4k2

2-k2

，
由已知

x1+x2

2

=x_p=2，
∴

k-2k2

2-k2

=2．解得k=4．
又k=4时，△＞0，从而直线AB方程为4x-y-7=0．

点评：本题考查双曲线的方程和性质及运用，以及直线的一般式，通过直线与双曲线的方程的联立，通过设而不求韦达定理解题，属于中档题．