练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e=
    1
    2
    的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P．
    （Ⅰ）当m=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
    （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，经过点F2的直线l与抛物线C1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断抛物线C1的准线与椭圆C2的交点B1、B2与圆的位置关系；
    （Ⅲ）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（Ⅰ）当m=1时，易知c=1，a=2，b=
    		3
    ；从而求椭圆方程及准线方程；
    （Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，与y2=4x联立可得y2-4ky-4=0；不妨取B1 (-1，
    3
    2
    )    ，可求得
    B1A1
    •
    B1A2
    ≥0，故点B1在圆上或圆外，故点B1、B2在圆上或圆外；
    （Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，通过第二定义可知三角形PF1F2的边长分别是
    5
    3
    m ， 
    6
    3
    m ， 
    7
    3
    m    ，从而求出m即可．
    解答： 解：（Ⅰ）当m=1时，F1（-1，0），F2（1，0），
    故c=1，又由离心率e=
    1
    2
    知，
    a=2，故b=
    		3
    ；
    则椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ，
    右准线方程为x=
    a2
    c
    =4；
    （Ⅱ）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，
    将x=ky+1代入y2=4x得，
    y2-4ky-4=0．
    设A1（x1，y1），A2（x2，y2），
    由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．
    由椭圆和抛物线的对称性，只要判断B1、B2中一点即可．
    不妨取B1 (-1，
    3
    2
    )    ，
    ∵
    B1A1
    =(x1+1，y1-
    3
    2
    )，
    B1A2
    =(x2+1，y2-
    3
    2
    )    ，
    ∴
    B1A1
    •
    B1A2
    =（x1+1）（x2+1）+（y1-
    3
    2
    ）（y2-
    3
    2
    ）
    =x1x2+（x1+x2）+1+y1y2-
    3
    2
    （y1+y2）+
    9
    4

    =4k2-6k+
    9
    4
    =4（k-
    3
    4
    ）2；
    因为k∈R，于是
    B1A1
    •
    B1A2
    ≥0    ，
    即点B1在圆上或圆外，故点B1、B2在圆上或圆外．
    （Ⅲ）假设存在满足条件的实数m，
    由题设有c=m，a=2m，|F1F2|=2m．
    又设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
    有r1+r2=2a=4m；
    设P（x0，y0），
    对于抛物线C1，r2=x0+m；
    对于椭圆C2，
    r2
    a2
    c
    -x0
    =e=
    1
    2
    ，
    即r2=
    1
    2
    (4m-x0)    ．
    由x0+m=
    1
    2
    (4m-x0)    解得，x0=
    2
    3
    m    ，
    ∴r2=
    5
    3
    m    ，从而 r1=
    7
    3
    m    ．
    因此，三角形PF1F2的边长分别是
    5
    3
    m ， 
    6
    3
    m ， 
    7
    3
    m    ．
    所以m=3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数．
    点评：本题考查了圆锥曲线的位置关系的应用，应用到了韦达定理及向量，化简很困难，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    计算：cos
    5π
    8
    •cos
    π
    8
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    正四面体棱长为1，其外接球的表面积为（　　）
    A、
    		3
    π
    B、π
    C、
    3π
    2
    D、3π

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功率为
    1
    3
    ，该学习小组又分成两个小组进行验证性实验．
    （1）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率．
    （2）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下去，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过4次，求第二个小组所做的种子发芽的实验次数ξ的概率分布列和期望．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点M(1，
    4
    3
    		2
    )    ，N(-
    3
    2
    		2
    ，
    		2
    )    ；求
    （1）离心率e；
    （2）椭圆上是否存在P（x，y）到定点A（a，0）（0＜a＜3）距离的最小值为1？若存在求a及P坐标，若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点（如图）．
    （1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的
    1
    4
    ，求直线l1的方程；
    （2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1有极大值，在x=3有极小值，则a=
     
    ，b=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线的标准方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    ，离心率为
    		3
    ，且双曲线过点（
    		2
    ，
    		2
    ），
    （1）求双曲线的标准方程；
    （2）过点P（2，1）作一条直线l与双曲线交于A，B两点使P为AB的中点，求直线l的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    1，1≤x≤2
    x-1，2＜x≤3
    ，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a∈R，记函数g（x）的最大值与最小值的差为h（a）．
    （Ⅰ）求函数h（a）的解析式；
    （Ⅱ）画出函数y=h（x）的图象并指出h（x）的最小值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案