Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1．
（1）求f（x）的函数解析式；
（2）作出函数f（x）的简图，写出函数f（x）的单调减区间及最值．
（3）若关于x的方程f（x）=m有两个解，试说出实数m的取值范围．（只要写出结果，不用给出证明过程）

Answer 1

【答案】
（1）解：当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=x2+2x﹣1．

∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x）

∴f（x）=x2+2x﹣1

∴f（x）=

（2）解：函数图象如图所示

单调减区间为（﹣∞，﹣1]，[0，1]

f（x）min=﹣2，函数没有最大值

（3）解：m∈{﹣2}∪（﹣1，+∞）
【解析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，由已知中当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x＜0时函数的解析式，进而得到答案，（2）由二次函数的图象画法可得到函数的草图；根据图象下降对应函数的单调递减区间，分析出函数值的取值范围后可得到答案；（3）由图象可得结论．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．