Question

已知函数f（x）=x³+ax²+2，若f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=1对称．
（Ⅰ）求导函数f′（x）及实数a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由其图象关于x=1对称即可求出a值，从而得到f′（x）．
（Ⅱ）借助（Ⅰ）问，求出f（x）在区间[-1，2]上的极值、端点处函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax，
因为f′（x）的图象关于直线x=1对称，所以-

1

3

a=1，a=-3，从而f′（x）=3x²-6x．
故f′（x）=3x²-6x，a=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-3x²+2，f′（x）=3x（x-2），
则当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）=2为极大值，又f（-1）=-2，f（2）=-2．
所以y=f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2，最小值为-2．

点评：本题考查应用导数求函数在闭区间上的最值问题，以及分析问题解决问题的能力．