Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ （其中a∈R）有两个零点，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,﹣1）∪（﹣1,0）
【解析】解：f′（x）=）=（x﹣1）ex+ex+ax=x（ex+a），

①当a≥0时，ex+a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，

f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，且f（0）=0，

此时f（x）=（x﹣1）ex+ （其中a∈R）不存在有两个零点；

②当a=﹣1时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）单调，此时f（x）=（x﹣1）ex+ （其中a∈R）不存在有两个零点；

③当a＜0且a≠﹣1时，令f′（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣a） （a≠﹣1）．

a∈（﹣1，0）时，x2＜0，函数在（﹣∞，ln（﹣a）））递增，在（ln（﹣a），0）递减，在（0，+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；

a∈（﹣∞，﹣1），时，x2＞0，函数在（﹣∞，0）递增，在（0，ln（﹣a））递减，在（ln（﹣a），+∞）递增，而f（0）=0，此时函数恰有两个零点；

综上，则a的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）

所以答案是：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）