Question

14．已知二次函数f（x）=x²+ax+b，且方程f（x）=17有两个实根-2，4
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤λx在区间[2，4]上恒成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-2，4是x²+ax+b-17=0的两根，运用韦达定理，可得a，b，进而得到f（x）的解析式；
（2）运用参数分离可得λ≥x+$\frac{9}{x}$-2在[2，4]的最大值，由对勾函数的单调性，求得最大值，即可得到所求实数的范围．

解答 解：（1）方程f（x）=17有两个实根-2，4，
即为-2，4是x²+ax+b-17=0的两根，
可得-2+4=-a，-2×4=b-17，
解得a=-2，b=9，
则f（x）=x²-2x+9；
（2）若关于x的不等式f（x）≤λx在区间[2，4]上恒成立，
即为λ≥$\frac{{x}^{2}-2x+9}{x}$=x+$\frac{9}{x}$-2在[2，4]的最大值，
由y=x+$\frac{9}{x}$-2在[2，3]递减，在[3，4]递增，
可得y_min=3+3-2=4，x=2时，y=$\frac{9}{2}$；x=4时，y=$\frac{17}{4}$．
即有y的最大值为$\frac{9}{2}$．
则λ的取值范围是[$\frac{9}{2}$，+∞）．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用韦达定理，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性解决，考查运算能力，属于中档题．