Question

2．设函数φ（x）=e^x-1-ax，
（ I）当a=1时，求函数φ（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数φ（x）在（0，+∞）上有零点，求实数a的范围；
（ III）证明不等式e^x≥1+x+$\frac{1}{6}{x^3}（{x∈R}）$．

Answer 1

分析 （ I）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调区间求解最小值．
（ II）φ'（x）=e^x-a，若a≤0，求解函数的极值，若a＞0，求出函数的最小值，当0＜a≤1时，求解极值，当a＞1时，求出极值点，设g（a）=a-1-alna，求出导数，然后求解最小值，推出a的取值范围．
（ III）设函数$f（x）={e^x}-1-x-\frac{1}{6}{x^3}，f'（x）={e^x}-1-\frac{x^2}{2}$通过（1）当x≤0时，判断函数的单调性，（2）当x＞0时，设$g（x）=f'（x）={e^x}-1-\frac{1}{2}{x^2}，g'（x）={e^x}-x$，构造设h（x）=e^x-x，判断函数的单调性求解函数的最值，推出结果．

解答 （本题满分14分）
解：（ I）ϕ（x）=e^x-1-x，ϕ'（x）=e^x-1x＜0时，ϕ'（x）＜0．ϕ（x）递减；
x＞0时，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）递增ϕ（x）_min=ϕ（0）=0--------------------（3分）
（ II）φ'（x）=e^x-a
若a≤0，φ'（x）=e^x-a＞0，φ（x）在R上递增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）
上没有零点------------------------（5分）
若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（-∞，lna）↓，
（lna，+∞）↑，所以φ（x）_min=φ（lna）=a-1-alna---------（7分）
当0＜a≤1时，极值点x₀=lna≤0，又φ（0）=0，ϕ（x）在（0，+∞）无零点
当a＞1时，极值点x₀=lna＞0，设g（a）=a-1-alnag'（a）=-lna＜0，g（a）在（1，+∞）上递减，
∴φ（x）_min=g（a）＜g（1）=0----（8分）φ（2a）=e^2a-1-2a²
∴φ'（2a）=2e^2a-4a=2（e^2a-2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上递增
所以φ（2a）＞φ（2）=e²-5＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上有零点
所以，a的取值范围是（1，+∞）----------（9分）
（ III）证明：设函数$f（x）={e^x}-1-x-\frac{1}{6}{x^3}，f'（x）={e^x}-1-\frac{x^2}{2}$
（1）当x≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（-∞，0）上递减--------------------（10分）
（2）当x＞0时，设$g（x）=f'（x）={e^x}-1-\frac{1}{2}{x^2}，g'（x）={e^x}-x$，
设h（x）=e^x-x，h'（x）=e^x-1＞0（x＞0）h（x）=e^x-x在（0，+∞）上递增，
∴h（x）＞h（0）=1＞0$g（x）={e^x}-1-\frac{x^2}{2}在（{0，+∞}）上递增∴g（x）＞g（0）=0$，
即当x＞0时，$f'（x）={e^x}-1-\frac{1}{2}{x^2}＞0$，f（x）在（0，+∞）上递增，----（12分）
由（1）（2）知，f（x）_min=f（0）=0∴f（x）≥0
即${e^x}≥1+x+\frac{1}{6}{x^3}（{x∈R}）$------------------------（14分）

点评 本题考查函数与导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．