Question

已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^?）顺次为抛物线y=

1

4

x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=

1

4

x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{

1

an•( 3 2 +cn)

}的前n项和为S_n，求证：

2

3

≤S_n＜

4

3

．

Answer 1

（1）∵y=

1

4

x²，∴y′=

x

2

，y′|_x=n=

n

2

，
∴点B_n（n，b_n）作抛物线y=

1

4

x2的切线方程为：y-

n2

4

=

n

2

（x-n），
令y=0，则x=

n

2

，即a_n=

n

2

；（3分）
∵点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形，
∴a_n+c_n=2n，∴c_n=2n-a_n=

3n

2

  （5分）
（2）若等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，则|A_nC_n|=2b_n?
∴n=

n2

2

，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂为直角三角形   （9分）
（3）证明：∵

1

an•( 3 2 +cn)

=

1

n 2 ( 3 2 + 3n 2 )

=

1

3 4 n(n+1)

=

4

3

（

1

n

-

1

n+1

）（11分）
∴S_n=

4

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

4

3

（1-

1

n+1

）＜

4

3

又1-

1

n+1

随n的增大而增大，
∴当n=1时，S_n的最小值为：

4

3

（1-

1

1+1

）=

2

3

，
∴

2

3

≤S_n＜

4

3

（14分）