Question

12．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC上的一点，AB=AC，且AD⊥BC
（1）求证；A₁C∥平面AB₁D₁
（2）若AB=BC=AA₁=2，求点A₁到平面AB₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）连接A₁B交AB₁于E，连接DE，根据中位线定理即可得出DE∥A₁C，故而A₁C∥平面AB₁D₁；
（2）过B作BF⊥B₁D，则可证BF⊥平面AB₁D，于是点A₁到平面AB₁D的距离等于C到平面AB₁D的距离，等于B到平面AB₁D的距离BF．

解答 证明：（1）连接A₁B交AB₁于E，连接DE，
∵四边形ABB₁A₁是平行四边形，
∴E是AB₁的中点，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴D是BC的中点，
∴DE∥A₁C，
又DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D₁．
（2）∵A₁C∥平面AB₁D₁，
∴A₁到平面AB₁D的距离等于C到平面AB₁D的距离，
∵D是BC的中点，
∴C到平面AB₁D的距离等于B到平面AB₁D的距离，
过B作BF⊥B₁D于F，
∵BB₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥BB₁，
又∵AD⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BF，又B₁D∩AD=D，
∴BF⊥平面AB₁D，即BF为B到平面AB₁D的距离，
∵BD=1，BB₁=2，∴B₁D=$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{BD•B{B}_{1}}{{B}_{1}D}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴A₁到平面AB₁D的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面距离的计算，属于中档题．