Question

20．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过38，则该塔形中正方体的个数至少是（　　）

• A． 4个
• B． 5个
• C． 6个
• D． 7个

Answer 1

分析 根据相邻正方体的关系得出个正方体的棱长为等比数列，求出塔形表面积S_n的通项公式，令S_n＞38即可得出n的范围．

解答 解：设从最底层开始的第n层的正方体棱长为a_n，则{a_n}为以2为首项，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公比的等比数列，
∴{a_n²}是以4为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的对比数列．
∴塔形的表面积S_n=6a₁²+4a₂²+4a₃²+…+4a_n²=4a₁²+4a₂²+4a₃²+…+4a_n²+2a₁²
=4×$\frac{4（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+8=40-$\frac{32}{{2}^{n}}$，
令40-$\frac{32}{{2}^{n}}$＞38，解得n＞4．
∴塔形正方体最少为5个．
故选B．

点评 本题考查了棱柱的面积计算，数列的应用，属于中档题．