Question

11．已知函数$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x-1，x∈{R}$．
（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点$（-\frac{π}{6}，0）$对称，且t∈（0，π），求t的值．
（2）设$p：x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]，q：|f（x）-m|＜3．若p是q$的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出h（x）的表达式，利用图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，建立条件关系即可求t的值；
（2）求出当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，函数f（x）的值域，利用p是q的充分条件，即可求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=-cos2（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），
∵h（x）=f（x+t）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称
∴h（-$\frac{π}{6}$）=2sin（-$\frac{π}{6}$×2+2t-$\frac{π}{3}$）=2sin（2t-$\frac{2π}{3}$）=0，
即2t-$\frac{2π}{3}$=0+kπ，
∴t=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，
∵t∈（0，π），
∴当k=0时，t=$\frac{π}{3}$，
当k=1时，t=$\frac{5π}{6}$．
（2）∵|f（x）-m|＜3，
∴：-3＜f（x）-m＜3，
即m-3＜f（x）＜m+3，
当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
此时2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[1，2]，
即f（x）∈[1，2]，
要使p是q的充分条件，
则 $\left\{\begin{array}{l}{m-3≤1}\\{m+3≥2}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{m≤4}\\{m≥-1}\end{array}\right.$，
∴-1≤m≤4，
即实数m的取值范围是[-1，4]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期，对称性和最值的性质，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．