Question

6．已知函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-2\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求f（x）的最小值正周期、最大值及取得最大值时x的值；
（2）讨论f（x）在区间[0，π]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为余弦型函数，求出f（x）的最小正周期和最大值，
以及f（x）取最大值时x的值；
（2）由余弦函数的单调性求出f（x）的增区间，
求出f（x）在[0，π]上的增区间和减区间．

解答 解：（1）函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）-2\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$sin2x
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
所以f（x）的最小正周期为T=π，最大值为1，
当且仅当$2x+\frac{π}{3}=2kπ$，即$x=kπ-\frac{π}{6}，k∈Z$时取最大值；
（2）由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z；
得kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴f（x）的增区间是[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
当k=1时，f（x）在[0，π]上的增区间为[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]；
在[0，π]上的减区间为[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]；
∴f（x）在$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$上单调递增，在$[0，\frac{π}{3}]$和$[\frac{5π}{6}，π]$上单调递减．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是中档题．