Question

12．已知$\overrightarrow a=（1，y）$，$\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，sin（2x-\frac{π}{6}））$且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，设函数y=f（x）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程及单调递减区间；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{2π}{3}}]$，求函数y=f（x）的最大值和最小值并写出函数取最值时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的解析式，根据三角函数的性质求出函数的对称轴和递减区间即可；
（Ⅱ）根据x的范围，求出2x-$\frac{π}{6}$的范围，结合三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a=（1，y）$，$\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，sin（2x-\frac{π}{6}））$，且$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，
∴$1•sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}•y=0$----------------------------------------------------------------------（2分）
∴$y=f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）$---------------------------------------------------------------------（3分）
由$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$．
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，得$kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$--------------------------（5分）
∴$f（x）的对称轴方程是直线x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
函数在[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，（k∈z）递减----------------------------------------（6分）
（Ⅱ）∵$x∈[{0，\frac{2π}{3}}]$∴$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]∴f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）∈[{-1，2}]$---------------------------（8分）
∴$当2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}即x=\frac{π}{3}时，f（x）取到最大值2$；
$当2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}或\frac{7π}{6}即x=0或\frac{2π}{3}时，f（x）取到最小值-1$-----------------（10分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．